¿un muchacho de 16kg sobre un columpio de jardin lleva una velocidad de 3,4m/s cuando el columpio, de 6m de lon?

Hola!
La otra respuesta esta mal, ya que lo que te piden no es la ALTURA a la que llega, sino el ÁNGULO que forma el columpio con la vertical.

El trabajo de todas las fuerzas es igual a la variación de energía cinética. En este caso hay dos fuerzas que actúan, la tensión sobre las cadenas y la fuerza peso. Como la tensión de las cadenas es siempre perpendicular a la trayectoria, el trabajo que realiza la tensión es 0. Como la única fuerza que efectúa trabajo es la gravitatoria, la variación de energía cinética es igual al trabajo de la fuerza gravitatoria:

W = ∆Ek = 1/2(m.vf²) - 1/2(m.vo²)

La velocidad final vf es 0, ya que es la velocidad en el punto mas alto, cuando se detiene. La expresión del trabajo de la fuerza gravitatoria se reduce a:

W = - 1/2(m.vo²) = - 1/2(16 . 3,4²) = - 92,48 J

Ahora bien, la componente de la fuerza de gravedad tangente a la trayectoria en este caso no es constante, varía con el tiempo, dependiendo del ángulo de inclinación. La fuerza de restitución ejercida por la gravedad responde a:

F = - m.g.sen ɸ

Que resulta de proyectar la fuerza peso sobre la trayectoria.
ɸ varía entre 0 y x, siendo x el ángulo que queremos determinar.
Esto tiene sentido, cuando ɸ vale 0, sen ɸ se hace 0, por lo que la componente tangencial a la trayectoria de la fuerza se hace 0, esto es lógico porque un ángulo nulo significa que el columpio está justo en el punto más bajo, en este punto el peso es perpendicular a la trayectoria y la fuerza no hace trabajo. El trabajo de la fuerza sería máxima cuando se forma un ángulo de 90 grados, en ese caso la fuerza es tangente a la trayectoria.

El trabajo de la fuerza esta determinada por la siguiente expresión diferencial:

dW = F.ds = - m.g.sen ɸ ds

Donde dW es el diferencial de trabajo, una cantidad infinitamente pequeña de trabajo, y ds es el diferencial de arco, una porción infinitamente pequeña de la trayectoria.
en coordenadas polares, el diferencial de arco es igual a:

ds = R.dɸ

Donde R es el radio de la trayectoria, que en este caso es la longitud de la cadena, 6m. La expresión de trabajo nos queda:

dW = - R.m.g.sen ɸ dɸ

Ahora sí sumamos los diferenciales desde ɸ=0 hasta ɸ=x, es decir evaluamos una integral entre 0 y x, obtenemos el trabajo de la fuerza peso entre esos dos puntos:

ʃ dW = - ʃ R.m.g.sen ɸ dɸ

R.m.g es constante, así que sólo debemos integrar sen ɸ:

W = - R.m.g ʃ sen ɸ dɸ

La integral del seno es el -coseno. Sí evaluamos el coseno entre 0 y x, puesto que el coseno de 0 es 1, de la integral sacamos que:

W = - R.m.g (1 - cos x)

Y por el calculó anterior sabemos que esto es igual a - 92,48 J. Reemplazando W por esa cantidad:

- R.m.g.(1 - cos x) = - 92,48 ==>
1 - cos x = 92,48/(R.m.g) ==>
cos x = 1 - 92,48/(R.m.g)

Sustituyendo los valores (tomo g como 10 m/s²):

cos x = 1 - 92,48/(6.16.10) ==>
cos x = 0,903666...

De aquí sale que el ángulo de inclinación x es aproximadamente:

x ~ 25º 21'
25 grados y 21 minutos, o en radianes:
x = 0,14.π rad.

Saludos!

Al suponer que la energía del sistema es constante,
(1/2) m v^2 = m g a,
esto determina la altura, a, que te piden:
a = v^2/(2 g)=0.578 m