La costumbre establece que la pareja debe entregarse mutuamente anillos como símbolo de alianza matrimonial, colocándoselos en la ceremonia nupcial. El anillo matrimonial se coloca en el dedo anular. Distintas tradiciones hacen uso de una u otra mano, variando este uso de acuerdo a las zonas.
Sin embargo, se trata simplemente de una costumbre que no es esencial en la celebración del matrimonio: su ausencia no invalida el consentimiento dado en la ceremonia y, por lo tanto, el matrimonio celebrado sin el intercambio de los anillos sería perfectamente válido.
lo que he podido averiguar esto cambia bastante según la zona geográfica concreta de donde sean los novios e incluso la religión que practiquen. En Estados Unidos por ejemplo las alianzas se llevan al revés que en España, pero es que ni siquiera en todas las regiones de España se lleva en las mismas manos. En Cataluña, Valencia y algún otro sitio parece que llevan el anillo de compromiso en la mano derecha y el anillo de casados en la izquierda, mientras que en el resto de España es al revés.
Si crees en la religion, los anillos van en la mano derecha pues biblicamente los reyes llevaban el anillo en la mano derecha pues representaba autoridad, y cada persona al casarse es una autoridad en su hogar.