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Descripción Cinemática
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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Versión 2004
1. Descripción General
Introducción
Un tren de engranajes es un mecanismo formado por varios pares de engranajes acoplados de
tal forma que el elemento conducido de uno de ellos es el conductor del siguiente. Suele
denominarse como la cadena cinemática formada por varias ruedas que ruedan sin deslizar
entre sí; o bien como cualquier sistema de ejes y ruedas dentadas que incluya más de dos
ruedas o tandem de ejes y ruedas dentadas. En la Figura 9.45 se muestra un ejemplo genérico
de un sistema de engranaje o tren de engranajes. Generalmente se recurre a ellos porque no es
posible establecer una determinada relación de transmisión entre dos ejes mediante un solo
par de ruedas dentadas; o también porque se desea obtener un mecanismo con relación de
transmisión variable, lo que tampoco es posible con un solo par de ruedas.
Figura 9.45. Ejemplo genérico de Tren de engranajes
Los casos más frecuentes en los que la relación de transmisión “i” no puede ser generada
solamente por dos ruedas son:
- Cuando la relación de transmisión “i” es muy distinta de la unidad: Por un lado, tenemos
el número mínimo de dientes que pueden tallarse sin que se produzca interferencia de
tallado. También existen algunas limitaciones constructivas que establecen el número
máximo de dientes que se pueden tallar en un engranaje. La razón principal es que los
errores cometidos durante el tallado, aunque sean muy pequeños y tal vez no influyan en
el engrane de una determinada pareja de dientes, son acumulativos. Como consecuencia,
el último diente tallado puede quedar excesivamente cerca o lejos del primero falseando
el paso y haciendo que el engranaje no funcione correctamente. De ahí que generalmente
no se suele admitir pasar de 200 dientes en engranajes industriales (reductores de
velocidad de turbinas muy rápidas) y de 100 en mecánica fina de precisión; si bien no se
llega a estos límites más que en casos excepcionales. Por otra parte, se sabe que pueden
construirse ruedas con Z<2/Sen
2
[ϕ] tallando engranajes corregidos.
- La relación de transmisión “i” viene definida por una fracción irreducible i = A/B dentro
de los márgenes descritos en el punto anterior, pero tal que A > z
máx
y B > z
máx
.
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- La relación de transmisión “i” viene definida por un número racional (por ejemplo
i=2.7158.., etc ) que no puede establecerse con la suficiente aproximación mediante un
único par de ruedas de dimensiones limitadas.
- La relación de transmisión “i” ha de establecerse entre dos ejes excesivamente alejados
como para establecer la transmisión mediante sólo dos ruedas de dimensiones normales.
En ocasiones, cuando sucede este tipo de problemática, la solución puede estar en buscar
otro tipo de transmisión como correas o cadenas.
Clasificación de los trenes de engranajes
Los trenes de engranajes se pueden clasificar de la siguiente manera:
- Trenes ordinarios:
o Trenes ordinarios simples.
o Trenes ordinarios compuestos
- Trenes epicicloidales
o Trenes epicicloidales simples
o Trenes de engranajes diferenciales
- Trenes mixtos: Corresponden a combinaciones de los otros dos tipos
Existen algunas diferencias entre estos tipos de trenes de engranajes. La diferencia en los
trenes epicicloidales reside en que poseen algún eje que tiene movimiento relativo respecto
de los demás; mientras que en los trenes ordinarios el único movimiento que pueden tener los
ejes es el de giro sobre sí mismos.
2. Trenes de engranajes ordinarios
Trenes de engranajes ordinarios simples
En un tren de engranajes ordinario, las ruedas extremas del tren giran sobre los dos ejes entre
los que ha de establecerse la relación de transmisión deseada. En el tren de engranajes, todos
los ejes de las ruedas que lo componen (tanto extremas como intermedias) apoyan sobre un
mismo soporte fijo, según se puede ver en la Figura 9.46
Figura 9.46. Tren de engranajes ordinario simple
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En esta clase de trenes de engranajes se cumple que:
1 1
1
1
1
1
2
2
2
2
....
i
i
i
i
i
i
in in
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
= −
= −
= −
(9.68)
donde Z
1
y Z
2
son los números de dientes de los engranajes en los extremos y ω
1
y ω
2
sus
correspondientes velocidades de rotación. Mientras que Z
i1
, Z
in
, etc son los números de
dientes de los engranajes intermedios y ω
i1
, etc las correspondientes velocidades de rotación.
Luego se cumple que:
1
1
2
n
n
j
j
j
j
j
j
Z
Z
ω
ω
−
=
=
=
∏
∏
(9.69)
En consecuencia resulta:
( )
1
2
1
1
2
1
n
n
Z
Z
i
Z
Z
ω
ω
−
=
±
= −
1
(9.70)
Nótese que el número de dientes de las ruedas intermedias no influye en el valor absoluto de
la relación de transmisión (i). Son las llamadas ruedas “locas” o “intermedias” o “parásitas” y
pueden servir para invertir el sentido de giro final (el signo de la relación de transmisión) o
para modificar la distancia entre los ejes de entrada y salida. Otra posible aplicación de los
trenes ordinarios simples es el caso de que se pretenda tener más de un eje de salida de
movimiento, para una sola entrada.
Trenes de engranajes ordinarios compuestos
Por otra parte, se dice que un tren ordinario es compuesto cuando, al menos, uno de los ejes es
común a varias ruedas, según se ve en la Figura 9.45. El caso más sencillo posible es el que se
puede apreciar en la Figura 9.47. Las relaciones que se plantean son:
1 1
2
2
2
3
3 3
4
4
Z
Z
Z
Z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
= −
=
= −
(9.71)
Pero se pueden establecer las siguientes relaciones de las velocidades de entrada y de salida
1
2
2
4
3 3
/
/
entrada
salida
Z Z
Z Z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
= −
=
= −
1
4
(9.72)
en consecuencia la relación de transmisión de velocidades es:
1 3
4
1
2
salida
entrada
Z Z
i
Z Z
ω
ω
ω
ω
=
=
= ±
4
(9.73)
La relación (9.73) sería la misma aun cuando entre las ruedas (1) y (2), o entre (3) y (4=,
existieran varias ruedas intermedias; ya que cada grupo se comporta como un tren ordinario
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simple y, por lo tanto, el razón de velocidades “i” depende únicamente de las ruedas
extremas. Si separamos el tren de engranajes en parejas de ruedas engranando, tendremos dos
grupos. En el primer grupo, el movimiento “entra” por (1) y “sale” por (2) (rueda conductora
y conducida, respectivamente). Análogamente, en el segundo grupo, el movimiento “entra”
por (3) y “sale” por (4). Si hubiera más grupos o pares de ruedas el esquema se repetiría. En
tal caso, observando la expresión (9.73) se deduce:
conductoras
salida
entrada
conducidas
Z
i
Z
ω
ω
=
= ±
∏
∏
(9.74)
en cuanto al signo, el procedimiento más adecuado es obtenerlo observando directamente la
figura que representa esquemáticamente el tren.
Figura 9.47. Tren de engranajes ordinario compuesto. Forma elemental
Si en un tren de engranajes ordinario simple es necesario que todas las ruedas tengan el
mismo módulo, no sucede lo mismo en el caso del tren ordinario compuesto. En el caso de la
Figura 9.47, si R
3
< R
2
, para transmitir la misma potencia de giro (H = T
i
·ω = W
t
·R
i
·ω) es
preciso una fuerza mayor (es decir, la componente tangencial a la circunferencia primitiva de
funcionamiento, W
t
del esfuerzo de contacto entre dientes es mayor: W
t12
> W
t34
), por lo tanto,
los dientes de las ruedas del grupo (3)-(4) están más solicitadas que las del grupo (1)-(2) y
deberían ser construidas con un módulo mayor.
Trenes de engranajes ordinarios compuestos recurrentes
Un tren de engranajes ordinario compuesto se llama recurrente cuando el eje de salida (S) y el
de entrada (E) son coaxiales como se ve en la Figura 9.47. En estos trenes de engranajes se
verifica que:
(
)
(
1
2
2
4
12
1
2
34
3
4
R R
R R
m Z Z
m Z Z
+
=
+
⇒
+
=
+
)
(9.75)
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siendo m
12
y m
34
los módulos de cada parte. Si las ruedas no están corregidas, los módulos
habrán de cumplir que:
4
12
34
2
1
Z
Z
m
m
Z
Z
+
=
+
3
(9.76)
Y si existen N
12
ruedas intermedias entre las ruedas (1) y (2), y N
34
entre (3) y (4) se tiene
34
12
4
3
1
12
34
2
1
1
2
2
N
j
j
N
j
j
Z
Z
Z
m
m
Z
Z
Z
=
=
+ +
=
+ +
∑
∑
(9.77)
Trenes de engranajes ordinarios compuestos NO recurrentes
En la Figura 9.48 se muestran trenes ordinarios compuestos no recurrentes con excentricidad
“e” entre el eje de entrada y el de salida, la condición a cumplir será:
1
2
2
R R e R R
+
+ =
+
4
(9.78)
donde se cumple que
34
12
4
3
1
12
34
2
1
1
12
2
2
N
j
j
N
j
j
Z
Z
Z
m
m
e
Z
Z
Z
m
=
=
+ +
=
+ +
+
∑
∑
(9.79)
Figura 9.48. Tren de engranajes ordinario compuesto No recurrente
Las expresiones anteriores son válidas para el caso de engranajes cilíndricos de dientes rectos.
Potencias y pares transmitidos
Si se desprecia el rozamiento, todas las fuerzas que intervienen en un tren de engranajes
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