¿COMO SE SOLUCIONA ESTE PROBLEMA DE OPTIMIZACION ??10 PUNTOS?

Un fabricante de cajas de cartón desea hace cajas abiertas con piezas de cartón de 24 cm2, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea máximo.

POR FA GRACIAS POR SUS RESPUESTS
¿COMO SE SOLUCIONA ESTE PROBLEMA DE OPTIMIZACION ??10 PUNTOS?

Respuestas:

Suponemos que la base que tenemos es un cuadrado. Como el area es 24, el lado es raiz(24)
Cortamos las esquinas, como dices. Vamos a llamar "x" a cada lado del cuadradito que recortamos.
Al doblar hacia arriba, tendremos una caja de lado de la base: raiz(24) - 2 x y altura x
De modo que el volumen de la caja es
V = ( raiz(24) - 2 x )^2 · x = (24 + 4 x^2 - 4 ·raiz(24) · x) · x
V = 24 x + 4 x^3 - 4 raiz (24) x^2
La condicion de maximo (o minimo) es que
d V / d x = 0 = 24 + 12 x^2 - 8 raiz (24) x
de donde resolviendo la ecuacion de segundo grado se obtiene: x = 2,45 cm y 0,82 cm
Calculamos la segunda derivada:
V '' (x) = 24 x - 8 raiz (24)
V '' (2,45) > 0 es un mínimo
V '' (0,82) < 0 es un máximo.
El lado del cuadrado que debe recortarse será 0,82 cm